( θa,n ;Y n (ˆθn θ 0 ), a=1,...,d, J n

Transkriptio

1 2.4.2 Asymptoottie ormaalisuus Ku SU estimaattori tarketuvuus o todettu, voidaa asymptoottie ormaalisuus osoittaa käyttäe pistemäärä Taylori kehitelmää tai väliarvolausetta. Tämä vaatii uskottavuusfuktio toiste derivaattoje olemassaolo, joka seuraa malli oletetusta sääöllisyydestä (ks. jakso 2.3. Keskeie elemetti SU estimaattori asymptoottise ormaalisuude osoittamisessa o äistä ehdoista seuraava pistemäärä martigaaliomiaisuus(ks. Lause 2., joka sopivi lisäehdoi mahdollistaa martigaalie KRL:ee soveltamise(ks. Lause.6. Merkitää jällee s (θ;y = l (θ;y / θ ja s a, (θ;y = l (θ;y / θ a (a =,..., d. Selvyyde vuoksi osoitetaa myös jakauma idetifioiva parametriarvo odotusarvo- ja kovariassioperaattoreissa ja lisätää havaitoje lukumäärä havaittuuiformaatiomatriisiijafisheriiformaatiomatriisiielii (θ=e θ [J (θ;y ] = E θ [ 2 l (θ;y / θθ ]. Kuteedellisessäjaksossa,oudattaaaieistoavastaava svy malliaf Y (y ;θ 0. Liialliste tekiste tarkasteluje välttämiseksi oletetaa, että parametriavaruus Θ R d oavoijakoveksi. Useamuuttujafuktioväliarvolauseestasaadaa tällöiyhtälö 9 s a, (ˆθ ;Y =s a, (θ 0 ;Y + θ s a, ( θa, ;Y (ˆθ θ 0, a=,...,d, jossavälipisteelle θ a, =c aˆθ +( c a θ 0, 0 c a,pätee θ a, θ 0 ˆθ θ 0 (a=,...,d. Koska s (θ;y / θ ohavaituiformaatiomatriisij (θ;y = 2 l (θ;y / θ θ a.rivi,voidaaedelläesitetytyhtälötkootayhtälöksi s (ˆθ ;Y =s (θ 0 ;Y J ( θ ;Y (ˆθ θ 0, (2.7 jossamatriisi J ( θ ;Y a.rivioyhtäkuimatriisij ( θa, ;Y a. rivi(elimatriisij ( θ ;Y eririveilläoerivälipisteet. KoskaSU estimaattoriolemassaolo oletetaa,os (ˆθ ;Y =0ja,josmatriisi J ( θ ;Y oletetaaepäsigulaariseksi, saadaa edellee yhtälö (ˆθ θ 0 =( J ( θ ;Y s (θ 0 ;Y. (2.8 Tehtävää o perustella suoritettu matriisi käätämie ja osoittaa, että yhtälö oikea puoli kovergoi jakaumaltaa kohti multiormaalista satuaisvektoria. Tarkastellaa esi yhtälö(2.8 oikea puole esimmäistä tulotekijää. Yhtälöstä(2.2 ähdää,että J ( θa, ;Y ootoskeskiarvo,jotesopiviehdoisiihevoidaa soveltaa SLL:ia. Argumeti θ a, satuaisuude vuoksi joudutaa käyttämää havaittua iformaatiota koskevaa tasaista SLL:ia(ks. Lause.5. Koska määritelmä mukaae θ [J (θ;y ]=I (θ,oluotevaaolettaa J p (θ;y Ī(θ tasaisestijoukossaθ, (2.9 9 Jos d: muuttuja fuktio f :Θ Ro derivoituva, ii merkiällä f(θ/ θ tarkoitetaa osittaisderivaatoistamuodostettuavaakavektoria f(θ/ θ =[ f(θ/ θ f(θ/ θ d ]( d. 24

2 jossa Ī(θ määritellää raja-arvoa(ks. (2.3 lim I (θ= lim i= ] E [ 2 θ θ logf i (Y i ;θ =Ī(θ, θ Θ. (2.20 Tässä raja-arvo olemassaolo oletetaa samoi kui se jatkossa tarvittava jatkuvuus japositiivisdefiiittisyys(jasiteepäsigulaarisuuspisteessäθ 0. Kute Lausee 2. jälkee todettii, yhtälö (2.8 oikealla puolella oleva pistemääräs (θ 0 ;Y = i= u i(θ 0 ;Y i omartigaalija,kumd joou i (θ 0 ;Y i, i, oletetaa toteuttava Lausee.6 ehdot(i ja(ii, saadaa s (θ 0 ;Y d N ( 0,Ī(θ 0. (2.2 Tässä asymptoottise jakauma kovariassimatriisi perustuu malli oletetusta sääöllisyydestäseuraavaatulokseecov θ0 [ /2 s (θ 0 ;Y 0 ] =I (θ 0 (ks. (2.5ja jo tehtyy oletuksee(2.20. (Huomaa myös, että Lausee.6 oletetuste voimassa ollessa I (θ 0 kovergoi. EsitykseyksikertaistamiseksijamyöskoskaLauseessa.6 esitety KRL: asemesta voi olla mahdollista soveltaa muitaki KRL:ta, otetaa pistemäärä asymptoottie ormaalisuus(2.2 seuraavassa oletukseksi. Edellä esitettyje valmisteluje jälkee SU estimaattori asymptoottise ormaalisuude toteamie ei ole hakalaa. Lause 2.3. Olkoo f Y (y ;θ, θ Θ, sääöllie malli ja parametriavaruus Θ avoi ja koveksi. Oletetaa, että kovergessit(2.9,(2.20 ja(2.2 pätevät ja että raja-arvoī(θopositiivisestidefiiittijajatkuvapisteessäθ 0. JosSU estimaattori ˆθ olisäksitarketuva,ii (ˆθ θ 0 d N( 0,Ī(θ 0. Lisäksipätee J (ˆθ ;Y p Ī(θ 0. Siirretää todistus jakso loppuu, mutta todetaa tässä pääidea, joka perustuu Seurauksee.2(tai Lauseesee.4 ja Lauseesee.5. Viimeksi maiitu lausee ja tehtyje oletuste avulla ähdää, että yhtälö(2.8 oikealla puolella oleva tulo asymptoottistajakaumaajohdettaessamatriisi J ( θ ;Y voidaakorvatamatriisillaj (θ 0 ;Y,mikäjälkeetulosseuraaoletuksistajaSeurauksesta.2. Lause 2.3 kattaa tilastollise päättely kurssilla esitety iid tapaukse, jossa matriisi Ī(θ 0 paikalla o yksittäise havaio Fisheri iformaatio. Kovergessi (2.20 perusteella Ī(θ 0 voidaa tulkita keskimääräiseksi Fisheri iformaatioksi ja lausee tulos voidaa esittää myös merkiällisesti ( ˆθ N θ 0,I (θ 0. as Edellä saotu perusteella voidaa Lausee 2.3 tulkita osoittava SU estimaattori asymptoottise täystehokkuude. 25

3 Lausee jälkimmäise tulokse(ja Lausee. mukaa asymptoottise jakauma kovariassimatriisiī(θ 0 tarketuvaestimaattorisaadaakäätämälläskaalattu havaittuiformaatiomatriisi J (ˆθ ;Y. TätätulostavoidaakäyttääSU estimaattoriˆθ kompoettiekeskivirheidelaskemisessa(ks. tilastollisepäättely kurssi ja seuraavassa jaksossa tarkasteltavissa Waldi testeissä. Lausee 2.2 tarketuvuustulokse tapaa myös Lausee 2.3 merkitys o oletuste yleisluoteisuude vuoksi pitkälti periaatteellie. Kokreettisissa tilateissa oletetut kovergessit täytyy tarkistaa käyttäe tarkasteltava malli erityispiirteitä ja oletuksia. Aiva kute Lausee 2.2 tapauksessa, o tasaista SLL:ia koskeva kovergessi(2.9 tässä suhteessa yleesä hakali. Tämä kurssi kaalta tekisiä yksityiskohtia oleaisempaa o kuiteki ymmärtää SU estimaattori asymptoottise ormaalisuude todistamisessa käytettävät perusideat iide toimimie tapauksissa, joissa havaiot eivät ole riippumattomia ja samoi jakautueita. Maiittakoo Lausee 2.3 oletuksista vielä, että parametriavaruude avoimuutta ja koveksisuutta ei välttämättä tarvita, mutta(toisi kui tarketuvuude tapauksessa vaatii edellä sovelletu väliarvolausee toimivuus, että todellie parametriarvoθ 0 oparametriavaruudesisäpiste. Tämäeiolekaikissatapauksissaaivaharmitooletus. Esimerkiksiyhtälö(2.3määrittelemämallivirhetermieη j jakaumatriippuvatvariassiparametristaω 2,jostaoletetaaω 2 0. Reuapisteω 2 =0 o mahdollie ja määrittelee hypoteesi, joka testaamisesta ollaa usei kiiostueita. Esimerkiksi Waldi testissä tarvitaa tällöi SU estimaattori asymptoottie jakauma ollahypoteesi ω 2 = 0 voimassa ollessa, mutta tätä ei saada Lauseesta 2.3 eikä muustakaa vastaavasta lauseesta, sillä asymptoottise jakauma tiedetää oleva ei-ormaalie. O myös useita testaustilateita, joissa Fisheri iformaatiomatriisi ei ole ollahypoteesi voimassa ollessa positiivisesti defiiitti, mikä johtaa tavaomaisesta poikkeavaa(asymptoottisee estimoiti- ja testiteoriaa. Lausee 2.3 todistus: Osoitetaa esi, että matriisi J ( θ ;Y kovergoi stokastisestikohtimatriisiaī(θ 0. Koskamatriisi J ( θ ;Y a.rivioyhtäkui matriisij ( θa, ;Y a. rivi,riittääosoittaa,että J p ( θa, ;Y Ī(θ 0, kaikillaa=,...,d. ( Välipistee θ a, todettiiedellätoteuttava θ a, θ 0 ˆθ θ 0,joteSU estimaattoriˆθ oletetustatarketuvuudestaseuraa θ a, θ 0 0taiyhtäpitävästi p p θa, θ0. Tulos ( seuraa tästä, oletuksesta (2.9 ja Lauseesta.5. O selvää, ettäkorvaamalla θ a, SU estimaattorillaˆθ voidaasamallatavallaperustellalausee jälkimmäieväite J (ˆθ ;Y Ī(θ p 0. Edellä todetusta tuloksesta J p Ī(θ0 ( θ ;Y ja matriisi Ī(θ 0 epäsigulaarisuudesta seuraa ( J p Ī(θ0 ( θ ;Y 26

4 (ks. Seuraus.2 ja se jälkeie keskustelu. Käyttäe tätä ja oletusta(2.2 kehitelmässä(2.8 saadaa Seuraukse.2(i perusteella (ˆθ θ 0 Ī(θ d 0 Z, Z N ( 0,Ī(θ 0. ( Lauseeesimmäieväiteseuraatästä,silläĪ(θ 0 Z N 0,Ī(θ 0 multiormaalijakaumalieaarisuusomiaisuudeojalla Uskottavuusfuktioo perustuvia testejä Tarkastellaa(todellisee parametriarvoo liitettyä lieaarista ollahypoteesia H 0 :Aθ 0 =c, (2.22 jossa matriisi A (q d ja vektori c (q ovat tuettuja ja A: aste o q eli r(a=q. VaihtoehtoiehypoteesioAθ 0 c Waldi testi Waldi testi perustuu edellisessä jaksossa tarkasteltuu rajoittamattomaa SU estimaattoriiˆθ,jokaoletetaatoteuttavalausee2.3tulos. Elleitarvettaole,jätetää havaitoje lukumäärä yksikertaisuude vuoksi pois SU estimaattorista ja eräistä muistakimerkiöistä. WalditestisuureperustuuerotukseeAˆθ c. Koskaˆθo parametriθ 0 tarketuvaestimaattoririippumattasiitäokoollahypoteesitosivai ei, saa Aˆθ c tyypillisesti pieiä arvoja, ku ollahypoteesi o tosi ja suuria arvoja, ku ollahypoteesi ei ole tosi. Oletetaa, että ollahypoteesi o voimassa, jolloi (Aˆθ c = A (ˆθ θ 0 ja Lauseide.3 ja 2.3 sekä multioraalijakauma lieaarisuusomiaisuude perusteella ( d (Aˆθ c Z, Z Nq 0,AĪ(θ 0 A. Testisuuretta varte tarvitaa asymptoottise jakauma kovariassimatriisille tarketuvaestimaattori,joksikelpaalauseide2.3ja.ojallaa( J (ˆθ;YA. Käyttäe Seurausta.2(iii ja edellä esitettyä asymptoottista jakaumatulosta saadaa Walditestisuure(supistae :tja pois W=(Aˆθ c [A(J (ˆθ;Y A ] (Aˆθ c d χ 2 q. (2.23 TestisuureWmittaaluotevastierotukseAˆθ csuuruutta. Käytäössätestiä sovelletaalaskemallaapproksimatiivie arvo =P H {W W(y} P { χ 2 q W(y }, jossa χ 2 q o χ 2 q jakaumaa oudattava satuaismuuttuja ja W(y o (satuaise testisuuree W aieistosta laskettu arvo. Jos testisuuree tarkka jakauma tuetaa, 20 Multiormaalijakauma lieaarisuusomiaisuudella tarkoitetaa tulosta Z N(µ,Σ AZ N(Aµ,AΣA. 27

5 käytetää sitä arvo laskemisessa. Yksikertaisimpia malleja lukuu ottamatta tarkkaa jakaumaa ei kuitekaa yleesä tueta. Waldi testisuureee asymptoottie jakauma ei muutu, jos havaitu iformaatiomatriisipaikallakäytetääjotaitoistamatriisiī(θ 0tarketuvaaestimaattoria. Kute pistemäärä asymptoottista ormaalisuutta (2.2 perusteltaessa todettii, pätee s (θ 0 ;Y = i= u i(θ 0 ;Y i, jossa u i (θ 0 ;Y i, i, o MD joo ja site korreloimato. Tästä ja yhtälöistä(2.5 seuraa E[ s(θ 0 ;Y s(θ 0 ;Y ] = i= E [ u i (θ 0 ;Y i u i (θ 0 ;Y i ] = I (θ 0 Ī(θ 0, kuoletetaaoletukse(2.20kovergessi. TämäperusteellamatriisiĪ(θ 0 voidaa estimoida luotevasti myös käyttäe s. ulkotulomatriisia M (ˆθ;Y= u i (ˆθ;Y i u i (ˆθ;Y i. i= Tämä estimaattori tarketuvuus ei kuitekaa seuraa Lausee 2.3 oletuksista. Lauseesta.5 ähdää, että riittävä lisäoletus o(vrt. oletus(2.9 M (θ;y Ī(θ p tasaisestijoukossaθ. (2.24 Jotkut uskottavuusfuktio maksimoiissa käytettävät umeeriset meetelmät hyödytävät ulkotulomatriisia log uskottavuusfuktio Hesse matriisi J (θ;y asemesta. Tällöi ulkotulomatriisia o luoteva käyttää myös Waldi testisuureessa. Toisi kui Hesse matriisi o ulkotulomatriisi aia positiivisesti defiiitti. Moimutkaisissa estimoititehtävissä molemmat matriisit lasketaa yleesä umeerisia derivaattoja käyttäe. Waldi testi voidaa yleistää epälieaarisille hypoteeseille h(θ 0 =0, (2.25 jossafuktioh:θ R q ojatkuvastiderivoituvajaq dderivaattamatriisih(θ= [ h a (θ/ θ b ], a =,...,q, b =,...,d, toteuttaa r(h(θ 0 = q. Edellä tarkasteltu lieaarie hypoteesi saadaa erikoistapauksea valitsemalla h(θ = Aθ c. Tässä tapauksessawalditestisuureoluetevaaperustaasuureeseeh(ˆθ.käyttäeusea muuttujafuktioväliarvolausettakompoeteittaifuktioihih a (θ(a=,...,q voidaa jaksossa. esitetty deltameetelmä yleistää ja todeta, että ollahypoteesi voimassa ollessa as h(ˆθ =H(θ 0 (ˆθ θ 0, jossa merkitä tarkoittaa, että vase ja oikea puoli kovergoivat jakaumaltaa kohti samaa rajajakaumaa. Tästä ja edellä lieaariselle hypoteesille esitetystä päättelystä saadaa Waldi testisuuree yleistys(yksityiskohdat jätetää tehtäväksi W=h(ˆθ [H(ˆθJ (ˆθ;YH(ˆθ ] h(ˆθ d χ 2 q, jossahavaituiformaatiomatriisij (ˆθ;Ypaikallavoidaavaihtoehtoisestikäyttää ulkotulomatriisia M (ˆθ;Y. Käytäössä testaus sujuu samaa tapaa kui edellä lieaarise hypoteesi tapauksessa. 28

6 2.5.2 Rao pistemäärätesti Rao pistemäärätesti perustuu ollahypoteesi huomioo ottavaa rajoitettuu SU estimaattorii θ,jokamaksimoiuskottavuusfuktioehdollaaθ=cjatoteuttaasite A θ=c. Tarkastellaaesihiematätäestimaattoriasiällää. KoskamatriisiA (q d o astetta q, voidaa ollahypoteesille(2.22 johtaa lieaarialgebraa käyttäe yhtäpitävä esitys(yksityiskohdat jätetää tehtäväksi θ 0 =Bδ 0 +e, (2.26 jossamatriisib (d (d qjavektorie(d ovattuettujajaδ 0 ((d q o tutemattoma parametri δ todellie arvo. Matriisi B o lisäksi astetta d q ja toteuttaa AB = 0, mikä voi ähdä kertomalla yhtälö(2.26 vasemmalta matriisilla A ja vertaamalla tulosta ollahypoteesii(2.22. Toisaalta, kertomalla yhtälö(2.26 vasemmaltamatriisilla(b B B jaratkaisemallaδ 0 saadaaδ 0 =(B B B (θ 0 e. Tästäähdää,ettäparametriδsaaarvojajoukossa ={δ:δ=(b B B (θ e, θ Θ}. Merkitsemällä L (r (δ;y=l(bδ+e;yvoidaaedelläsaotustapäätellä, että rajoitettusu estimaattio θ=b δ+e,jossa δsaadaamaksimoititehtävä L (r ( δ;y=max L(δ;y δ ratkaisua. Edellisissä jaksoissa esitettyjä tuloksia voidaa soveltaa myös estimaattorii δ jatodetaerityisestisetarketuvuusjaasymptoottieormaalisuus. Rajoitetu SU estimaattori θ vastaavat omiaisuudet voidaa johtaa tästä käyttäe yhtälöä θ=b δ+e. Tarketuvuus,jotaseuraavassakäytetää,saadaamyössuoraa Lauseesta 2.2, ku parametriavaruus määritellää uudellee korvaamalla Θ joukolla {θ Θ:Aθ=c}. Raotestiideaotutkiapoikkeaakos( θ;y= l( θ;y/ θ liikaa ollasta. Tätä voidaa motivoida seuraavasti. Tarketuvuude ojalla voidaa vapaa ja rajoitetu SU estimaattori odottaa oleva ollahypoteesi voimassa ollessa lähellä todellista parametriarvoaθ 0 jasitelähellätoisiaa. KoskavapaaSU estimaattoriˆθtoteuttaa uskottavuusyhtälötelis(ˆθ;y=0,voidaaollahypoteesivoimassaollessaodottaa, ettäs( θ;yomyös lähellä ollaa. Josollahypoteesieiolevoimassa,eiolemitää syytämiksiäikävisi,jotepistemääräs( θ;y suurie arvojevoidaatulkita viittaava ollahypoteesi virheellisyytee. Tarkastellaa yt (satuaise pistemäärä s( θ;y asymptoottista jakaumaa olettaeollahypoteesi. Koska θ θ 0 =B( δ θ 0,voidaakäyttääväliarvolausetta samaa tapaa kui yhtälöa(2.7 johdettaessa ja osoittaa kehitelmä s( θ;y=s(θ 0 ;Y J ( θ;y ( θ θ0 =s(θ 0 ;Y J ( θ;y B( δ δ0, jossa J ( θ;y määritellääkuteyhtälössä(2.7käyttäerajoitettuasu estimaattoria θ vapaasu estimaattoriˆθ paikalla. Kertomallaedelläesitettypistemäärä s( θ;yesitysvasemmaltamatriisilla jaottamallahuomiooideti- A J ( θ;y teettiab=0saadaa A ( J ( θ;y ( s( θ;y=a J ( θ;y 29 s(θ 0 ;Y.

7 Oikealla puolella /2 s(θ 0 ;Y d N(0,Ī(θ 0 oletukse (2.2 ojalla ja aiva kutelausee2.3todistuksessa ( J p Ī(θ0 ( θ;y ja( J ( θ;y p Ī(θ 0. KäyttäeLausetta.4(taiSeurausta.2(ivoidaasitepäätellä,että ( A J ( θ;y s( θ;y Z, d Z N q (0,AĪ(θ 0 A. Kute Waldi testisuuree tapauksessa päädytää tästä edellee testisuureesee S=s( θ;y J ( θ;y A [ AJ ( θ;y A ] AJ ( θ;y s( θ;y d χ 2 q. (2.27 Rao testisuureella o site sama asymptoottie jakauma kui Waldi testisuurella, jote approksimatiiviset arvot lasketaa myös samalla tavalla. Havaitu iformaatiomatriisij ( θ;ypaikallavoidaavaihtoehtoisestikäyttääulkotulomatriisia M ( θ;y. Rao testi voidaa yleistää tyyppiä (2.25 oleville epälieaarisille hypoteeseille. Meemättä yksityiskohtii todetaa vai, että samaa tapaa kui Waldi testissä saadaa testisuure korvaamalla testisuuree(2.27 lausekkeessa matriisi A derivaattamatriisilla H( θ. Erityisesti epälieaariste rajoitteide tapauksessa perustetaa rajoitettu SU estimoiti usei Lagrage kerroimeettelyy eli maksimoidaa fuktio l(θ,λ;y=l(θ;y+λ h(θ, jossavektoriλ=[λ λ q ] sisältäälagragekertoimet. Derivoimallaθ:suhtee ja asettamalla osittaisderivaatat ollaksi saadaa yhtälö θ l(θ,λ;y=s(θ;y+h(θ λ=0 Sijoittamallatässäθ= θjakertomallavasemmaltamatriisilla [H( θj ( θ;y H( θ ] H( θj ( θ;y (q d päädytää λ: suhtee ratkaisuu λ= [H( θj ( θ;y H( θ ] H( θj ( θ;y s( θ;y. KorvaamallatestisuureeSlausekeessa(2.27AmatriisillaH( θjakäyttämällävektori λlausekettaähdää,ettätestisuureesyleisellelausekkeellesaadaavaihtoehtoie esitys S= λ H( θj ( θ;y H( θ λ. Tämä selittää miksi Rao testiä kutsutaa myös Lagrage kerroitestiksi. 30

8 2.5.3 Uskottavuusosamäärätesti Uskottavuusosamäärätestissä verrataa malli uskottavuusfuktio arvoja vapaa SU estimaati ˆθ ja rajoitetu SU estimaati θ määrittämissä pisteissä. Testisuure esitetää yleesä muodossa [ ] LR=2 l(ˆθ;y l( θ;y. (2.28 Uskottavuusfuktio tulkita huomioo ottae o ituitiivisesti selvää, että suuret testisuuree arvot todistavat ollahypoteesia vastaa. Uskottavuusosamäärätesti asymptoottie jakauma voidaa johtaa käyttäe toise astee Taylori kehitelmää. Yksityiskohdat ovat algebrallisesti hiema mutkikkaat, jote seuraavassa tarkastellaa erikoistapausta, jossa ollahypoteesi määrää parametriarvoθ 0 täysieliollahypoteesimukaaθ 0 =c. Tällöi [ ] LR = 2 l(ˆθ;y l(c;y = 2s(ˆθ;Y (ˆθ c+(ˆθ c J ( θ;y(ˆθ c, jossa välipiste θ toteuttaa θ c ˆθ c. Koska s(ˆθ;y = 0, voidaa vapaa SU estimaattori ˆθ tarketuvuutta käyttäe päätellä kute Waldi testi tapauksessa(tai Lausee 2.3 todistuksessa, että ollahypoteesi voimassa ollessa LR as =(ˆθ c J (ˆθ;Y(ˆθ c d χ 2 d. Yleise ollahypoteesi(2.22 tai(2.25 tapauksessa edellä esitetty asymptoottie approksimaatio toimii edellee, mutta c: paikalle tulee rajoitettu SU estimaattori θ. Tällöi jatko sujuu kehittämällä pistemääräfuktiota väliarvolausee avulla, jolloisaadaaapproksimaatioˆθ θ as =J ( θ;y s( θ;y(ks. (2.7,kuθ 0 :paikalle paaa θ. Tästä saadaa edellee yhteys Rao testii. Kute edellä viitattii, mutkistuu asymptoottise jakauma johtamisessa tarvittava matriisialgebra tämä jälkee, jote yksityiskohdat sivuutetaa. Lopputulokseksi saadaa kuiteki, että ollahypotesi voimassa ollessa LR χ d 2 q. Sama asymptoottie jakauma pätee siis kaikille kolmelle testisuureelle ja käytäö testaus sujuu uskottavuusosamäärätestillä samalla tavalla kui Waldi testillä ja Rao testillä. 3